たしざん・ひきざんの教え方 【メニュー】

紙とエンピツたしざん・ひきざん の 教え方  【メニュー】

 こちらのページでは、「たしざん・ひきざん」「水道方式」ではどのように教えていくのか、
「数学で育ちあう会」の教材や資料を例にあげて紹介していきます。

 メニューは次の通りです。
 @から順次、読み進めていただいた方が流れよく理解していただけると思います。

 

たしざん・ひきざんの教え方 メニュー

@ たしざん・ひきざんって どんな時に使うの?
    yajirushi_green たしざん・ひきざんの意味

A 練習順序
    yajirushi_green たしざん・ひきざんの練習順序(和が9まで)

B くり上がり・くり下がりは タイルで!
    yajirushi_green 10というまとまり〜10の合成・分解〜 
    yajirushi_green くり上がりのたしざん(素過程) 
    yajirushi_green くり下がりのひきざん(素過程)

C 2ケタのたしざん・ひきざん
    yajirushi_green 『筆算』を早い段階で取り入れます 
    yajirushi_green 2ケタのたしざん・ひきざん

D 3ケタ以上の計算
    yajirushi_green すべての計算問題を型分け

E 文章題について 〈その1〉
    yajirushi_green 子どもたちは「文章題」が苦手!?
       〈たし算の種類〉  〈ひきざんの種類〉

F 文章題について 〈その2〉
    yajirushi_green 「文章題」の指導で大切なことは?
    yajirushi_green 「文章題」を解く力が育つために…

「たしざん・ひきざん」の文章題、大人も考えてみよう!
      〜解答例&解説付き〜

 

 

 

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たしざん・ひきざんの教え方@ 〜たしざん・ひきざんって どんな時に使うの?〜

紙とエンピツたしざん・ひきざん の 意味

 0〜9(または0〜5)までの「数」がわかると、この範囲での たしざん・ひきざん ができますね。

 ところで、たしざん って どういうときにする(できる)でしょう?
 次の@〜I番の問題を ちょっと考えてみてください。

 

たせるかな? たせないかな?

@ イヌ 3びき と ネコ 4ひき で なんびきですか?

A バナナ 3本 と エンピツ 2本 で なん本ですか?

B きんぎょ 2ひき と さば 5ひき で なんびきですか?

C 100円 と 500円 あわせて いくらですか?

D 2m のひもと 5m のひもを つないだら なんmですか?

E 鉄のパイプ 3本 と アルミのパイプ 5本 があります。
  パイプは あわせて なん本ですか?

F 3リットルの水と0.2リットルの水をあわせるとなんデシリットルですか?

G 石 3こ と 1円玉 5こ で いくらですか?

H 1円玉 5こ と 50円玉 8こ で あわせていくらになりますか?

I 5リットル の 水の中に 3m の ひもを入れるといくらになるでしょう?

 

 

 いかがですか? 全問、素直に「たしざん」ができましたか?
 なんだか変…? という問題も かなりありましたよね。
 @は、「3+4=7  答 7ひき」とはしたものの、イヌとネコはたしていいのかな?…と迷います。
 もし、「動物は あわせて なんびきですか?」と 問われていたらわかりやすいのに。
 Aは、「3+2=5  答 5本」と出したとしても、この「5本」とはいったい何の数なのでしょう…。
 「たしざん」を初めて習う子どもたちなら、もっと迷うにちがいありません。反対に、平気で「5本」と答えてしまうと、ほんとうにたしざんがわかっているわけではないなぁと思ったほうが良さそうです。

 子どもにたしざんを教えるとき、「こんな方法もあるよ」「これもたしざんなんだよ」とあれこれ一度に教えてしまうと頭の中がゴチャゴチャになってしまいます。
 はじめて習うところは、まず 基本の考えをしっかり定着させたい ものです。

 例えば「3+2」とは何かを教える場合、まず最初は、

    同じものどうしでたしざんができる

という ことを押さえます。
 初めは具体物を使って実際にやってみせたり、子どもたちにも「たしざん」の体験をさせてみてください。その場合、もしアメで教えようと思ったら包装紙も同じ色のアメにしましょう。最初は厳密に同じものどうしにします。

 あわせた数を出すのが たしざん です。

  「お母さんの算数教室〜たしざん・ひきざん」資料 (田中恭子さん作)より

 

  what's tashizan.jpg 

  

  

  

  

  

@ アメを「あわせる」という操作を重視してやってみせます。

 

  

 

  

A アメをタイルに置き換えてあわせてみます。

 

B たしざんの式を教えます。
     ↓

 「さんすうの言葉であらわす」

 

C たしざんの意味を確認します。

 

 


 ひきざん は、残った数を出す計算 です。
 「アメが3こあります。2こ たべました。のこりのアメは なんこですか。」
のような問題からひきざんを教えるとよいでしょう。最初にあった数から、[ たべたり、あげたり、つかったり、なくしたり、にげたり、帰ったり] していくつか取り除き、その残りを求める場合に ひきざん を使います。
 ひきざんには他にもいろいろな意味があるのですが、上のような「残りを求める」ひきざんが子どもたちに最もわかりやすく、操作がしやすいのです。
 ひきざんの場合も具体物から入って、タイル、式(さんすうの言葉であらわす)だけでできるようにしていきます。

 

 常に「たしざん(ひきざん)ってどんな数を出すんだっけ?」と、たしざん・ひきざんの意味を聞いていくのがいいと思います。子どもたちには、今、自分が何をしているのか、何を求めているのかをいつも意識してほしいですね。

image_kagen.gif

 

  

たしざん・ひきざんの教え方A〜練習の順序〜 はこちら

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たしざん・ひきざんの教え方A 〜 練習順序 〜

紙とエンピツたしざん・ひきざん の 練習順序(和が9まで)

 あわせた数を出すのが 「たしざん」 で、

 残った数を出すのが 「ひきざん」 でしたね。

 ところで、たしざんはどんなにケタ数が多くなったとしてimage_sokatei.gifも、「1ケタ+1ケタ」に分解することが出来ますね。このたしざんの素になる 1ケタどうしのたしざん のことを

  たしざんの 素過程 (そかてい)

と呼んでいます。
たしざんの素過程は、

  0+0 から 9+9 まで 100個 あります。

これはたしざんのおおもとのおおもとなので、1つも欠かすことなく教えなければいけません。

そして、たしざんの素過程の逆が、

 ひきざんの 素過程 (そかてい)

になります。こちらも欠かさず教えていきます。


 ではまず、たして 9までの「たしざん」、つまり、くり上がりのないたしざん について、どんな順序で学ぶと良いかを考えてみましょう。

 水道方式では、タイル□を使ってたしざんを学習していきます。
 タイル□は5個で「5」のタイルになります。「5」のタイルを使うことで5以上の数が一目でわかります。
a_kyouzai_5tile.gif

 

 たして9までのたしざん(くり上がりなし)は、

   @「5」のタイルを作るかどうか、と、

   A「0」が含まれるかどうか

で型分けし、次のような順序で教えると良いでしょう。
 

 

 tashizanjunjo.jpg

 

 「お母さんの算数教室〜たしざん・ひきざん」資料 (田中恭子さん作)より

 2+1 のタイプ はどれだけあるでしょう。書き出してみると、

   1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1

です。これらの式になるような「あわせていくつかな?」という問題を最初にもってきてあげるといいですね。お子さんの大好きな物で楽しい問題を作ってあげてください!
 他のタイプも同様に書き出していくと素過程を抜け落ちることなく学習できます。
 

 ひきざん(くり下がりなし)も、同様に型分けし、次のような順序で教えると良いでしょう。
 

 

hikizanjunjo.jpg

  「お母さんの算数教室〜たしざん・ひきざん」資料 (田中恭子さん作)より

 4−1 のタイプ はどれだけあるでしょう。書き出してみると、

   4−1,4−2,4−3,3−1,3−2,2−1

です。これらの式になるような「残りはいくつかな?」という問題を最初にもってきてあげましょう。
 他のタイプも同様に書き出してみてください。 

 たしざん、ひきざん 共に 子どもたちには実際にタイル□ を 操作させて結果を確かめながら計算を進めていきましょう。

 

 さて次は「素過程」の中でも難しい「くり上がりのあるたしざん」「くり下がりのあるひきざん」です。

  

たしざん・ひきざんの教え方B〜くり上がり・くり下がりはタイルで!〜 はこちら

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たしざん・ひきざんの教え方B〜くり上がり・くり下がり は タイルで!〜

紙とエンピツ「10」という まとまり 〜 「10」の合成・分解

 私たちがふだん使っている数字は、「十進記数法(じっしんきすうほう)」といって、十集まれば次の位に一くり上がる仕組みです。「9」より1大きい数を1と0を並べて「10」と書くのもそのためです。これによって0〜9までの十個の数字だけでどんなに大きな数もどんなに小さな数もあらわせるのでたいへん便利な記数法です。
 10以上のものを数えるとき、10ずつまとまりにして数えていくと便利であることはみなさんも経験ずみですね。また「10」をつくるときに、例えば「6」と「4」の組み合わせや「7」と「3」の組み合わせというふうに、私たち大人はたやすく10をつくるためのペアを探し当てることができます。
 子どもたちにはこの 「10」の合成・分解 が確実にできるように、タイルと数字で練習してもらいましょう。これが苦手だと、くり上がり・くり下がりの計算がスムーズにいきません。最後には、タイルがなくても数字だけですぐ答えられるくらいまでにしましょう。

b_kyouzai_10_gosebunkai.gif
数学で育ちあう会 B教材 B-95より

 

 

「10」の合成・分解には、 『10の合成分解タイル』を使おう!

 「10」をつくるための組み合わせは全部で 5組 あります。
 この組み合わせを練習するために簡単な教具を作ってみませんか。
 安価な材料でできて、子どもたちがクイズのようにして学べるので、1つ作っておくと重宝します。
 タイルの材料は、木の立方体10個と布製のガムテープ(できればきれいな色で)。接着用にボンド。あとはお子さんの好きなシール(なるべく同じシール5枚)など貼るとかわいいですよ。

 作り方 と 使い方例 (またまた、数育会会長の田中恭子さんイラストでどうぞ!)

10goseibunkai_tile.gif

10goseibunkai_tile_howto.gif

 

↑ 作り方:画像をクリックすると拡大します ↑ 使い方例:画像をクリックすると拡大します

 

 

紙とエンピツくり上がりのたしざん(素過程)

 では「1ケタ+1ケタ」(素過程)のたしざんで くり上がりのあるもの はどのように考えると良いでしょう。
 「くり上がり」には、「10のかたまりを作る」 という作業が必要です。
 タイルで考えると、「1本」のタイルをつくる ということになります。
   ※1個のタイル□が10個集まると「1本」のタイルになります。
    数字の「10」はタイルが1本と0個という意味です。
    タイルの仕組みについては こちら をどうぞ。

 8+6 の場合

  に分解できます。
 タイルを置いて考えてみましょう。(下図) 「5」のタイルが両方にあるのでこれらをあわせて
「10をつくる」=「1本のタイルをつくる」 ことができます。あとは残りのバラタイルをあわせて答えがでてきます。

tile_kuriagari_8+6.gif

 このように両方に5のタイルが含まれていると、5と5で10になるので簡単で理解しやすい方法です。
 これと同じタイプは、9+5、7+7、8+7 ・・・ などがあります。
 最初はこのタイプをタイルで操作しながら練習していくと10のかたまりを作ることが意識できて良いと思います。

 

 9+4 の場合

 9+4のように、一方が5より小さい場合は、5と5で10のかたまりが作れません。
この型では「9にいくつたすと10になるか(10の補数)」を考えさせて答えをだすほうが簡単ですね。
9と1で10が作れるので、4個のタイルから1個をもってくればすみます。
あとはバラタイルが残り、すぐに答えがでてきます。

tile_kuriagari_9+4.gif

 8+3、7+4 なども同じタイプです。
 タイルで正しい答えを確かめながら、やがてはたしざんの式だけでも答えが出せるまで練習します。たしざんの素過程は確実にマスターさせましょう。
 「10の合成」が確実にできていると、「8+6」のようなたしざんも10の補数を考えるやり方で良いと思います。

 

 

紙とエンピツくり下がりのひきざん(素過程)

 くり下がりのひきざんは、多くの子どもたちがつまずくところです。苦手なまま学年が上がればケタ数が増えてゆきづまってしまうので、素過程のくり下がりは確実にしておきましょう。
 ではひきざんの素過程で くり下がりのあるもの はどのように考えると良いでしょう。
 「くり下がり」には、「10のかたまりをくずす」 という作業が必要です。
 タイルで考えると、「1本」のタイルをバラバラにする ということになります。

 13−9 の場合

 13 は 1本のタイルと3個のバラタイルでできています。
 一の位の 3 から 9 をひくことはできません。
 そこで1本のタイルを10個にくずします。10個(5のタイルが1つ+バラタイルが5個)から 9個をとり、残り1個のタイルと3個とを合わせて答えがでてきます。

 tile_kurisagari_13-9.gif

 「10の分解」が身についていると、この方法でスムーズにくり下がりが理解できるでしょう。
 タイルで正しい答えを確かめながら、やがてはひきざんの式だけでも答えが出せるまで練習します。ひきざんの素過程も同じく確実にマスターさせましょう。

 このようにくり上がり・くり下がりもタイルを使うと、計算の意味を考えながら計算力を習得できます。

 

 たしざん・ひきざんの素過程(そかてい)は、算数学習にとって基礎中の基礎、これからの土台となっていくものなので、確実にしておきます。
 最初は実物を使う、タイルを動かしてみる → タイルを置いてみる → タイルを書いてみる → タイル無しでやってみる、というように少しずつ段階を上げてくり返し学習したいところです。

 大事なところはていねいにじっくりと! 

 

 

 

たしざん・ひきざんの教え方C〜2ケタのたしざん・ひきざん〜 はこちら

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たしざん・ひきざんの教え方C 〜2ケタのたしざん・ひきざん〜

紙とエンピツ『筆算』を早い段階で取り入れます

 現在の小学校算数では、タテ書きの計算=「筆算」 が出てくるのは2年生からです。
 でも私たちは、1ケタどうしのくり上がりやくり下がりが出てくる1年生から本来なら筆算を取り入れるべきだと考えます。そのほうが数の仕組みに合っているからです。
 教科書においても、数が大きくなれば筆算に切り替えざるをえません。位をそろえなければ、たしざん・ひきざんができなくなってしまうからです。それならば早い段階から十進法を意識して筆算を導入していくほうがずっと良いのです。「水道方式」では、位をそろえて書く「筆算」を重視します。
 ヨコ書き(暗算)の場合は、そろばんも同じなのですが上の位からたしていきます。筆算は数の仕組みにしたがって下の位から順にたしていきます。
 

b_kyouzai_hissan.gif
数学で育ちあう会 B教材 B-109より

 

 

紙とエンピツ2ケタのたしざん・ひきざん

 水道方式では、すべての計算問題を型分けします。

〈たしざん〉
 最初は2ケタ+2ケタでくり上がりが無い型(例:22+22)から導入し、各位どうしをたしざんするという基本をおさえます。それができてから、「0」が入ったり(例:22+20)、位が欠けているもの(例:22+2,2+22)を扱います。
 そして次に、くり上がりのあるたしざんです。各位をそろえ、下の位から順にたしざんをしていきます。
 タイルでやってみましょう。

 

37+26
b_kyouzai_2keta_tashizan.gif
数学で育ちあう会 C教材 C-21より

 

 

〈ひきざん〉
 最初は2ケタ−2ケタでくり下がりが無い型(例:99−22)から導入し、各位どうしをひきざんするという基本をおさえます。それができてから、引く数に「0」が入るもの(例:99−20)、答えに0が入るもの(例:99−29)、位が欠けているもの(例:99−2)を扱います。
 そして次に、くり下がりのあるひきざんです。各位をそろえ、下の位から順にひきざんをしていきます。
 タイルでやってみましょう。

 

33−17
b_kyouzai_2keta_hikizan.gif
数学で育ちあう会 C教材 C-51より

 

 

   

 

たしざん・ひきざんの教え方D〜3ケタ以上の計算〜 はこちら

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たしざん・ひきざんの教え方D 〜 3ケタ以上の計算 〜

紙とエンピツすべての計算問題を型分け

 水道方式では、すべての計算問題を 型分け し、「一般型」から「特殊型」へ という順序で教えていくのが大きな特徴です。例えば3ケタのたしざんは、教科書などでは、「500+200」のようなものを先に教えます。水道方式では、「123+455」のようなものを先にします。くり上がりがなく、全ての位に0でない数字がある。これを一般型として最初に導入します。

 

和が3ケタになるたしざんは、おおざっぱに書くと次のような順序で学習します。
まず「一般型」をもってきて、各位どうしをたす ということをおさえます。

style_kagen_1.gif
そして、それぞれの型の中で、例えば、エ.(2回くり上がり) ならば、
style_kagen_2.gif
のように「位の欠けているもの」から「答に 0 が入るもの」へと順に学習します。


 「0+0=0に決まっているからこれ以上簡単なたしざんはない」というのは大人の思い込み、子どもにはとても難しいのです。
 子どもたちは0という数字が出てくると途端にわからなくなりますが、3+5なら安心してたせますね。一ケタどうしのたしざんを、計算の最小のパーツで「素過程(そかてい)」といいました。上のアの型の場合、素過程自体が簡単なので3ケタになっても簡単、それで一般型になったのです。一般型ができればだんだん特殊な型へと流していきます。
 ひきざんについても同様に分類して、まずくり下がりがない一般型(例:999−222)から入っていきます。

 このように型分けをしていると、苦手な型を取り出して練習できるのでとっても効率が良いのです。

 

 3ケタ以上のたしざんも各位をそろえ、下の位から順にたしざんをしていきます。
 タイルで考えれば計算の仕組みを目で確かめ納得できます。

 

e_kyouzai_3keta_tashizan.gif
数学で育ちあう会 E教材 E-32より

 

  3ケタ以上のひきざんも同じようにタイルで学習することで、各位をそろえて下の位から順にひきざんをしていけば良いことが理解できます。

〈ひきざん の 間違い例〉
 ひきざんは苦手な子が多く、3ケタ、4ケタと増えれば、1問解くのに苦労します。子どもたちも大変しんどいところ。
 ひきざんで間違いの多い型が「401−123」や「300−167」のようなものです。
 「ひけないので隣から借りようと思ったら0なので、そのまた隣から借りてくる」というパターンの問題です。

3keta_hikizan.gif
 また、3ケタまでの計算はバッチリ!! と思っている子どもでも、4ケタのひきざんで次のような間違いをすることがあります。

4keta_hikizan.gif

 この考えだと、3ケタまでは間違わなかったはずです。でも実は、この子は数の仕組み(十進記数法)がわかっていなかったわけです。

 この間違い例でもわかるように3ケタまでの計算では不十分です。4ケタの計算ができるとそれ以上の計算は同じようにできます。いっとき、「ゆとり教育」でなくなっていた4ケタの加減ですが、3ケタができているからといって4ケタも自然とできるわけではないことがわかります。


 

 

たしざん・ひきざんの教え方E〜文章題について〜 はこちら

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たしざん・ひきざんの教え方E 〜 文章題 について〈その1〉〜

紙とエンピツ子どもたちは「文章題」が苦手?!

 よく、「計算はできるのに文章題が苦手で…」という話を聞きます。
 問題を読んで正しい式が作れない子、文章題は苦手だとそっぽをむく子は大勢います。

 

たしざん・ひきざん 間違い例 __sozai__/0011759.gif

@ わなげをしました。
  かいめは つ、かいめは つ はいりました。
  あわせて いくつ はいりましたか。

   しき  1+4+2+3=10

                   こたえ 10つ

 

A 450円で えほんをかって 500円 はらうと おつりはいくらですか。

   しき  450−500=50

                   こたえ 50円

 

 

 たしざん・ひきざん の文章題は、大人にとってこれほど簡単なものはない! というふうに思えるのですが、まだまだ人生経験に乏しい子どもたちは ちょっとひねった問題になると 途端に混乱してしまいます。
 上の間違い例のように、文中に出てきた数字を順番に書いて「+」か「−」でつないですませる場合も多いのです。「問題をよく読まないからでしょ!」なんてつい責めてしまったり…。でも本当に、よく読めば解けるのでしょうか?

 苦手の原因を、「読解力不足」と考える人もありますが、読書好きの子どもが得意かと言えばそうとも限りません。語彙(ごい)の貧弱さ、イメージ力の乏しさもあるけれど、主要な原因は、「演算の意味」がしっかり教えられていない ことにあります。また「量」になじんでいないことたしざん・ひきざんができる量かどうかの区別の指導が軽く扱われていること も影響しています。

 これまで何度もお話ししてきましたが、最初に演算を学ぶ上で大切なのは、どんな時に使う計算か、その意味をわかっているかどうか ということです。おさらいをしますと、

 あわせた数を出すのが 「たしざん」 で、

 残った数を出すのが 「ひきざん」 でした。

 これが最も基本となる考え方になります。
 この基本の考え方で、一番典型的な場面を例にして、たしざん、ひきざんとはどういうものかを学び、計算を習熟した後、いろいろな種類の問題を指導していきます。
 実はたしざん・ひきざんはいろいろな型に分類することができます。教える側の大人は、そのことを知った上で子どもの状況に合わせた与え方をする必要があります。

 

〈たしざんの種類〉

 たしざんの基本は「あわせていくつ?」なので、最初は次のような問題で考えます。

たしざん

  左手に みかんを 2こ、右手に みかんを 1こ もっています。
  あわせると なんこですか?

    しき  2+1=3

                   こたえ 3こ 

二つの集合を
あわせるので、

「合併型」

と呼んでいます。
最初は同じ種類どうしをあわせる問題です。
   (同種)

本物のみかんを手に持って目の前のお皿にバサッと入れてみます。小さい子どもたちは実物やタイルを動かす操作活動を通して思考力が育ちます。最初に「合併型」を持ってくるのは、操作をしやすく子どもたちに理解しやすい からです。 

 

 続いて、同じ「あわせていくつ?」になるのですが、違う種類のものをあわせています。

たしざん  

  かごの中に みかんが 3こ、りんごが 1こ はいっています。
  くだものは ぜんぶで なんこ ありますか?

   しき  3+1=4

                   こたえ 4こ

@と同じ、

「合併型」

ですが、
違う種類をあわせて「くだもの」の数をきいています。
   (異種)

男の子3人と女の子1人で何人か?といった問題に「男の子と女の子はたせない」とひっかかる子どももいます。子どもは全部で何人かと聞くことで納得できるでしょう。

 

 次は、時間的経過を伴うたしざんです。

たしざん  

  みかんを 2こ もっていました。
  おかあさんに 1こ もらいました。
  ぜんぶで なんこに なりましたか?

   しき  2+1=3

                   こたえ 3こ 

  

後から加えたり増えたりするので、

「添加型」
「増加型」

と呼んでいます。

体重が増えた、赤ちゃんが生まれて人口が増えた、といった場面もこの型になります。
合併型の@とAは、たす順番を変えても成り立ちますが、Bの場合は成り立ちません。 


 これらが1〜2年生でおもに扱われるたしざんです。

 このほかに、一方より多い量を求める場合のたしざんもあります。

たしざん  

  弟は シールを 5まい もっています。
  お兄さんは 弟より 3まい多く もっています。
  お兄さんは なんまい シールを もっていますか?

   しき  5+3=8

                   こたえ 8まい 

  

基準となる方より大きい量を求めるので、

「求大型」

と呼んでいます。

この場合は、シールが増えたわけではありません。兄の分は、弟の数を兄の数に置き直して3を加えることで出てくるので、一段階、難しくなります。
また、弟が5枚、兄は8枚なので、シールの数は全部で13枚存在していますね。 

 
 ここまでは、ものの多さを表す数(集合数)どうしのたしざんでした。
 今度は、○番目 のような順番とか位置を表す数である「順序数」のたしざんになります。
 順序数は、例えば1等と3等をあわせても4等にならないように、いつでもたしざんができる数ではありません。
 けれど、次のような例ではたしざんで答を求めることになります。

たしざん  

  みほさんは 前から 3ばんめに ならんでいます。
  みほさんの後ろには 5人 ならんでいます。
  ぜんぶで 何人 ならんでいますか?

   しき  3+5=8

                   こたえ 8人 

 

順序数+集合数 

のタイプになります。

順序数はいつでもたしざんができるわけではないので注意が必要です。
このタイプはたしざんの学習のずっと後の方で学ぶのが良いと思います。 

 

 このように、一口にたしざんといってもいろいろな種類があることがわかりますね。
 けれど、あらゆるたしざんは「あわせていくつ?」という合併型にもどして説明することができるので、「合併」をたしざんの基本と位置づけているわけです。

 

〈ひきざんの種類〉

 ひきざんの基本は「のこりはいくつ?」なので、最初は次のような問題で考えます。

__sozai__/0011759.gifひきざん

  みかんが 3こ ありました。1こ たべました。
  のこりは なんこですか?

   しき  3−1=2

                   こたえ 2こ

 

はじめの集合から取り除くので、

「求残型

と呼んでいます。

   (除去)

ひきざんにおいては、実物やタイルを動かす操作活動がしやすい「除去」が最もわかりやすい例です。 取り除いた残りを尋ねているので、ひきざんのイメージに合っています。

 

 続いて、求残に近いけれども実際に減ったわけではないという場合です。

__sozai__/0011759.gifひきざん 2

  子どもが 4人 います。3人は 男の子です。
  女の子は なん人ですか?

   しき  4−3=1

                   こたえ 1人

 

全体から一方を引いて他方を求める場合、

「求補型

と呼んでいます。

たしざんAの逆にあたります。

 

 上の二つはさほど難しくありませんが、次の差を求めるものは一段と難しくなります。

__sozai__/0011759.gifひきざん 3

  女の子が 8人、男の子が 5人 います。
  どちらが 何人 多いですか?

   しき  8−5=3

             こたえ 女の子が 3人 多い

 

二つの量を比べその違い(差)を求めるので

「求差型

と呼んでいます。

「女の子から男の子はひけない…」とひっかかる子どもがいます。
この場合は、女の子と男の子に手をつながせて1対1対応させます。すると、手をつなげなかった女の子が出てくるので女の子の方が多いとわかります。「女の子全員」から、「男の子と手をつないだ女の子」をひいて「残りの女の子の数」が出てきます。「のこりはいくつ?」のひきざんの意味にも合うわけです。
こうしたていねいな指導が必要なので@とAのタイプが十分できるようになったずっと後にBの求差型を入れるべきです。けれど教科書では求残型のすぐ後に差を求めるひきざんが出てくるので混乱の原因になっています。

  子どもが 8人、いすが 5きゃく あります。
  いすは いくつ たりないですか?

   しき  8−5=3

              こたえ 3きゃく たりない

同じく

「求差型

ですが、比べる対象が、子ども(人)といす(脚)です。

比べるものが異なる種類になると更に難しくなります。こたえ   の助数詞にも注意が必要です。 

 

 このほかに、たしざんCに対応して、一方より少ない量を求める場合のひきざんもあります。

__sozai__/0011759.gifひきざん 4

  お兄さんは シールを 8まい もっています。
  弟は お兄さんより 3まい少なく もっています。
  弟は なんまい シールを もっていますか?

   しき  8−3=5

                   こたえ 5まい 

  

基準となる方より小さい量を求めるので、

「求小型

と呼んでいます。

この場合も、シールは減りません。二つの量の「差」がわかっていることになります。
そしてやはり弟が5枚、兄は8枚なので、シールの数は全部で13枚存在していますね。

  

 ひきざんの場合も、次のような例では「順序数」のひきざんで答を求めることになります。

__sozai__/0011759.gifひきざん 5

  8にんの 子どもが 1列にならんでいます。
  みほさんは 前から 3ばんめに います。
  みほさんの後ろには 何人 ならんでいますか?
    しき  8−3=5

                   こたえ 5人 

  

集合数−順序数 

のタイプになります。

  3時から 7時まで そとで あそんでいました。
  なん時間 あそんでいましたか?

   しき  7−3=4

                   こたえ 4時間  

  

順序数−順序数 

のタイプになります。

順序数はいつでもひきざんができるわけではないので注意が必要です。
このタイプはひきざんの学習のずっと後の方で学ぶのが良いと思います。

 

 このように、ひきざんの種類もさまざまです。
 けれどやはり、ひきざんの基本は、「のこりはいくつ?」という求残型であると言えます。

 (つぎにつづく) 

 

たしざん・ひきざんの教え方F〜文章題について 〈その2〉〜 はこちら

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たしざん・ひきざんの教え方F 〜 文章題 について〈その2〉〜

紙とエンピツ「文章題」の指導で大切なことは? 

 「文章題」で大切なのは、

    何と何がわかっていて、

    何を求めるときにどんな式をたてるのか

です。

 たしざん・ひきざんを初めて学ぶ子どもたちに対しては、できるだけ具体物とかタイルを使ってくり返し操作(合併除去)し、経験させます。そしてそれらを、さんすうの言葉でどう表すのか を、折にふれ示していくと、文章題はできるようになります。

 はじめて習うところは、まず、 基本の考えをしっかり定着させる ことが大切です。それは後ほど習う「かけ算」「わり算」についても同じです。

 ところで、よく文章題を教えるときに、「もらった」「多い」などの言葉があればたしざん、「食べた」「帰った」などはひきざん、などと教えている人を見かけますがどうでしょう? 次の問題を考えてみてください。

たしざん・ひきざん  __sozai__/0011759.gif

問@ みかんを 3こ もらったので ぜんぶで 7こ になりました。
   はじめは なんこ あったでしょう。

    しき  7−3=4

                 こたえ 4こ

 

「もらった」や「ぜんぶで」など、たしざんを連想させる言葉が入っていますが、求める式はひきざんになります。それに問題のお話が最初に持っていたみかんより増えているので、「たしざん」と勘違いする子どもは多いのです。「3+7=10」としたり「4+3=7」とする間違いがよく見られる問題で、一般には「逆思考」問題とも呼ばれています。

たしざん・ひきざん __sozai__/0011759.gif

問A 駐車場から 車が3台 出ていきました
   駐車場には、まだ4台の車がとまっています。
   はじめに車は、何台 とまっていたでしょう。

    しき  3+4=7

                 こたえ 7台

 

今度は「出ていった」の言葉が入っていますが、求める式はたしざんになりました。そしてお話の内容では車の数がはじめより減っているので、たしざんで求めることに違和感を覚える子どもも多いのです。「出ていった3台に駐車場へ帰ってきてもらうとどうなるかな?」と言って元の状態に戻してみたら気がついてくれます。
大人と違い、子どもたちはちょっとしたところでひっかかりを抱いてわからなくなっている場合があります。どこがわからないかと聞いても、低学年の子どもはうまく言葉で説明できません。具体物や絵で説明したり、ストーリーを追ってわかっていることを一緒に確認したり、数字を易しいものに変えて考えさせたり、どこでひっかかりを持っているかを見つけてあげて、教える側が適切な助言をすることでわかってくれることもあります。

 

 いままで見てきたように、1年〜2年生くらいでいろいろなタイプの問題が出てきますので、子どもの発達段階によっては途方もなく難しくなる ということをどうか知っておいて下さい。文章題の力をつけようと買ったドリルで子どもが混乱して自信をなくすケースは意外と多いので気をつけてあげましょう。

 

紙とエンピツ「文章題」を解く力が育つために… 

 文章題を解く力をつけるために、式を与えてその式になる文章題を子どもたちに作らせることがあります。「問題作り(算数のお話作り)」と呼んでいて、基本的な演算の意味がわかっているかどうか確かめる時には有効です。
 けれども次のような例もみられます。

たしざん・ひきざん __sozai__/0011759.gif

〈問題作り〉 しきが 2130+2362 になるような問題を作りなさい。 

   2130メートルの男の子と、2362メートルの女の子を、
   あわせるといくらですか。

    しき  2130+2362=4492

                 こたえ 4492メートル

 

これは極端な例ではありますが、子どもたちの中には、現実の世界ではあり得ない数値を設定してしまったり、たしざんできないもの、たしざんしても意味がないものをたしてみたりということがしばしば見られます。たとえ計算の答が正しく導き出せたとしても、たしざん・ひきざんがわかっているとは言えません。量や単位の感覚が現実とかけ離れている子ども、生活の中で量や単位にふれあえていない子どもたちが多いように思います。

 

 計算が正しく早くできても、それだけでは役に立ちません。計算なら電卓の方がよほど早くて正確です。算数が役に立つためには文章題が解けることが大事です。文章題は身の周りの問題を数学的に解決するものだから、生活経験や遊びから学び取るものが大きい のです。
 大いに遊び、そして量の世界とも親しみ、感覚を養って算数に強くなりましょう。

 

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 ちょっとひとひねりした文章題を大人も考えてみましょう!

 大人の方にもたしざん・ひきざんの文章題の奥深さを感じてもらいたいので、ちょっとひとひねりした問題を集めてみました!
 興味のある方はこちらをどうぞ!

 

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「たしざん・ひきざん」の文章題、大人も考えてみよう! 〜 解答例&解説つき 〜

「たしざん・ひきざん」の文章題、大人も考えてみよう!

 いつもは子どもに「問題をちゃんと読んだらわかるでしょ!」なんて言っているけど、
文章題ってやっぱり、面倒で た〜いへん!
 簡単! 楽勝!…なんて思っているお父さん、お母さん、
 子どもの気持ちになって、大人も、たしざん・ひきざんに取り組んでみませんか。
 こんな問題、やってみよう!(これは大人向け問題です。小さい子どもさんにさせて困らせないでね!)

 

たしざん・ひきざん、できるかな??? __sozai__/0011759.gif

@ 校内マラソンで私は49位、正さんは27位でした。
  正さんがゴールしてから私がゴールするまでの間、何人の人がゴールしましたか?

A 超大作映画を見に行きました。
  映画は、午前10時50分に始まって、3時間20分かかります。
  おわるのは、午後何時何分ですか?

B 1秒間あたり10mの速さで走る電車と、1秒間あたり15mの速さで走る電車を
  つなぐと、1秒間あたり 10+15=25m の速さで走る電車になりますか?

C 1分間あたり40mの速さと、1分間あたり60mの速さをたして、
  速さが100m/分になることがあるでしょうか?

D 40℃のお湯に50℃のお湯を加えると、40+50=90℃ のお湯になりますか?

E 今年の10月1日の北九州市の最高気温は18℃で、去年の同日の最高気温は
  16℃でした。あわせると何℃ですか?
  また、この問いに意味があるでしょうか?

F 9℃+12℃=21℃ が成り立つような文章題を考えて下さい。

G 全商品30%引きと書いてある店で、2つの商品を買うと
  30+30=60%引きになりますか?image_taijukei.gif

H 体重が32sの男の子がいます。二つのヘルスメーターを並べて
  置き、二つに片足をのせて上がり、ピタッと止まったときに
  それぞれのメモリをよみました。すると、右のヘルスメーターは
  19sを指していました。このとき、左のヘルスメーターは、
  32−19=13s を指すでしょうか?

I 500gの水の中に100gの砂糖を入れて溶かしました。
  全部で何gになりますか?
  また、500gの水に100gの木を浮かべました。全部で何gになりますか? 
  今度は、500gの水に100gの氷を浮かべました。溶ける前と溶けた後で
  それぞれ何gになるでしょう?

J 油の量は重さ(g)で表示してあるのに、しょうゆや牛乳は体積(mLやL)で
  表示してあります。なぜでしょう? 

 

  ↑この問題の解説は、こちら をどうぞ!

 

 

  「たしざん・ひきざん」の文章題、大人も考えてみよう! の解答例と解説

 問題を解いてみていかがでしたか? どうするのかなぁ?? と悩まれたものもあったのでは?!
 では、1問ずつ、解答例をあげて解説をします。

たしざん・ひきざん、できるかな??? __sozai__/0011759.gif

@ 校内マラソンで私は49位、正さんは27位でした。
  正さんがゴールしてから私がゴールするまでの間、何人の人がゴールしましたか?
    解答例  49−27−1=21

                 こたえ 21人

 

この場合、「正さん」と「私」は数に入れません。49−27だけだと「私」の数が含まれたままなので1人分を差し引く必要があります。

 image_aidanokazu.gif

A 超大作映画を見に行きました。
  映画は、午前10時50分に始まって、3時間20分かかります。
  おわるのは、午後何時何分ですか?

    しき  午前10時50分+3時間20分=午後2時10分

jikoku_hissan.gif 

 

 

 

 

        こたえ 午後2時10分

 

時刻に時間をたす問題です。時間の計算では単位をそろえることが大切です。60分でくり上がるので難しいですね。おまけに、午後何時何分かと聞いているので答えの書き方には注意が必要です。

 

B 1秒間あたり10mの速さで走る電車と、1秒間あたり15mの速さで走る電車を
  つなぐと、1秒間あたり 10+15=25m の速さで走る電車になりますか?

    こたえ なりません

 

C 1分間あたり40mの速さと、1分間あたり60mの速さをたして、
  速さが100m/分になることがあるでしょうか?

    解答例  「1分間あたり40mの速さの「動く歩道」の上を、
         1分間あたり60mの速さで進行方向へ歩くとき、
         実際に進む速さは、100m/分になります。」

         

 

B 速さは自由にたしざん・ひきざんができない量です。この場合はたしざんは成立しません。

C 速さのたしざんが成り立つ例です。他に、川の流れと船の速度などで出題されるケースもあります。

 

D 40℃のお湯に50℃のお湯を加えると、40+50=90℃ のお湯になりますか?

    こたえ なりません

 

E 今年の10月1日の北九州市の最高気温は18℃で、去年の同日の最高気温は
  16℃でした。あわせると何℃ですか?
  また、この問いに意味があるでしょうか?

    こたえ この問いの場合には意味はありませんが、
       過去30年間の最高気温の平均を出すときは
       たして30で割るので、こういう場合のたしざんには
       意味があります。「平年」に比べて高いとか低いとか
       いう時の「平年」の気温は、平均値として算出された
       数値です。 

 

F 9℃+12℃=21℃ が成り立つような文章題を考えて下さい。

    問題の例  「ある日の北海道の最高気温は9℃でした。
          同じ日の沖縄の最高気温は北海道より12℃
          高かったです。
          その日の沖縄の最高気温は何℃でしたか。」

 

D 温度も自由にたしざん・ひきざんができない量の一つです。皆さんも経験して知っている通り、この場合のたしざんは成立しません。

E 気温も同じく自由にたしざん・ひきざんはできませんが、平均気温などを出す場合の過程でたしざんをする意味はありますね。

F 気温に温度差をたす問題の例です。

 

G 全商品30%引きと書いてある店で、2つの商品を買うと
  30+30=60%引きになりますか?

    こたえ なりません

 

G もしこんなたしざんが成立したら、商品が無料になったり、逆にお金をもらえてしまうこともありえますね! 2つの商品を買ったとき、a円の30%引きb円の30%引きになるので、合計金額(a+b)円の30%引き になります。

 

H 体重が32sの男の子がいます。二つのヘルスメーターを並べてimage_taijukei.gif
  置き、二つに片足をのせて上がり、ピタッと止まったときに
  それぞれのメモリをよみました。すると、右のヘルスメーターは
  19sを指していました。このとき、左のヘルスメーターは、
  32−19=13s を指すでしょうか?

    こたえ 13kg を指す  

 

I 500gの水の中に100gの砂糖を入れて溶かしました。全部で何gになりますか?
  また、500gの水に100gの木を浮かべました。全部で何gになりますか? 
  今度は、500gの水に100gの氷を浮かべました。溶ける前と溶けた後で
  それぞれ何gになるでしょう?

    こたえ どの場合も全て 500g+100g=600g になる 

 

J 油の量は重さ(g)で表示してあるのに、しょうゆや牛乳は体積(mLやL)で
  表示してあります。なぜでしょう? 

    解答例 他の物質に比べて油は温度によって体積が大きく変化
       する物質なので、体積ではなく重さで管理されているから。

 

H 「重さ」という量は目で見ただけではわかりずらいですね。それゆえ、自由にたしざん・ひきざんができると考えられない子は多いです。実際に体重計でこのような実験をしてみるといいかもしれません。

I こちらも全て重さは600gになります。砂糖が水の中に溶けて見えなくなってしまうと「重さ」までなくなったと考える子どもは案外多いのです。浮かんでいる木も、水中を動いている魚も重さはちゃんと存在しているので、たしざんが成り立ちます。「重さ」には「加法性」があることを子どもたちには知ってほしいと思います。ちなみに「かさ」(体積)はというと、「1リットル+1リットル=2リットル」にならない場合があります。

J 同じ油の重さでも、夏と冬とでは体積が変わるので、油はグラム表記になっています。ご家庭で、油の重さ表示と、ジュースなどの表示を見比べてみましょう。こういった身近なものの表示を調べてみると、子どもたちにも量感覚や単位の感覚が育ちやすいのではないかと思います。

 

 
 いずれも、生活経験が重要 ということです。

 

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